Phương pháp giải:

Điều kiện để  phân số \(\frac{A}{B}\) là số nguyên là \(A\,\, \vdots \,\,B\).

Lời giải chi tiết:

Để phân số \(\frac{{2x + 1}}{{3x - 1}}\) có giá trị nguyên thì \(\left( {3x - 1} \right)\) là ước của \(\left( {2x + 1} \right)\) tức là \(\left( {2x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3x - 1} \right)\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}2x + 1\,\, \vdots \,\,3x - 1\\3x - 1\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {2x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\\2.\left( {3x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + 3\,\, \vdots \,\,3x - 1\\6x - 2\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {6x + 3} \right) - \left( {6x - 2} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\)

\( \Rightarrow 6x + 3 - 6x + 2\,\, \vdots \,\,3x - 1\)

\( \Rightarrow 5\,\, \vdots \,\,3x - 1\)

\( \Rightarrow 3x - 1 \in U\left( 5 \right) = \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}\)

\( \Rightarrow 3x \in \left\{ { - 4;\,\,0;\,\,2;\,\,4} \right\}\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{ - 4}}{3};\,\,0;\,\,\frac{2}{3};\,\,4} \right\}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 0\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = 0\).

Chọn A.