Phương pháp giải:

Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có duy nhất một nghiệm bội lẻ.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(y = \left( {m - 1} \right){x^4} + \left( {6 - m} \right){x^2} + m\)

+ Với \(m = 1\) thì hàm số trở thành \(y = 5{x^2} + 1\) có duy nhất 1 điểm cực trị là \(x = 0\,\,\left( {tm} \right)\).

+ Với \(m \ne 1\) ta có:

   \(\begin{array}{l}y' = 4\left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {6 - m} \right)x = 2x\left[ {\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 6} \right]\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{m - 6}}{{m - 1}}\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ.

Do đó phương trình (1) hoặc là có nghiệm  kép \(x = 0\) hoặc vô nghiệm.

\( \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{m - 6}}{{2\left( {m - 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow 1 < m \le 6\).\( \Rightarrow {x\(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\)^2} = \dfrac{{m - 6}}{{2\left( {m - 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow 1 < m \le 6\)Mà .

Vậy có tất cả 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.