Phương pháp giải:

- Hình nón có diện tích đáy bằng \({S_d} = \pi {r^2}\) và diện tích toàn phần là \({S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi rl\).

- Đỉnh của hình nón bằng \(2\alpha \) với \(\sin \alpha  = \dfrac{r}{l}\)  (\(r\) là bán kính đáy, \(l\) là đường sinh).

Lời giải chi tiết:

Hình nón \(\left( N \right)\) có diện tích toàn phần bằng 3 lần diện tích đáy nên

\(\begin{array}{l}\pi {r^2} + \pi rl = 3\pi {r^2} \Leftrightarrow {r^2} + rl = 3{r^2} \Leftrightarrow l = 2r\\\sin \alpha  = \dfrac{r}{l} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = {30^0} \Rightarrow 2\alpha  = {60^0}\end{array}\)

Vậy góc ở đỉnh của hình nón bằng \({60^0}\).

Chọn C.