Phương pháp giải:

- Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)

- Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp đó.

- Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được tính bởi công thức \(S = 4\pi {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Mặt khác \(SAB\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(G\) là trọng tâm tam giác thì \(GA = GB = GC\)

\(AB = a \Rightarrow CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}GH = \dfrac{1}{3}CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}a\\CG = \dfrac{2}{3}CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\end{array} \right.\)     

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\)

\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HG \Rightarrow SG = \sqrt {S{H^2} + H{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}a} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\)

Suy ra \(GS = GA = GB = GC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\), do vậy \(G\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp  và \(R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\)

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a} \right)^2} = \dfrac{{4\pi {a^2}}}{3}\).

Chọn B.