Phương pháp giải:

Hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = a\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(a{x^2} + bx + 4 \ge 0\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,y = 2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} \\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\left( {2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} } \right)\left( {2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} } \right)}}{{2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} }}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{4{x^2} - \left( {a{x^2} + bx + 4} \right)}}{{2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} }}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\left( {4 - a} \right){x^2} - bx - 4}}{{2x - \sqrt {a{x^2} + bx + 4} }}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \dfrac{{\left( {4 - a} \right)x - b - \dfrac{4}{x}}}{{2 - \sqrt {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }},\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \dfrac{{\left( {4 - a} \right)x - b - \dfrac{4}{x}}}{{2 + \sqrt {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }}\end{array}\)

Hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là \(y =  - 1\) khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4 - a = 0\\\dfrac{{ - b}}{{2 - \sqrt a }} =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4 - a = 0\\\dfrac{{ - b}}{{2 + \sqrt a }} =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}Vo\,\,nghiem\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2a - {b^3} = 2.4 - {4^3} =  - 56\end{array}\)

Chọn D.