Phương pháp giải:

Điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\\f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \(y' = 2ax - \dfrac{b}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)

\(A\left( {0;1} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho nên \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 0 \right) = 0\\y\left( 0 \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a =  \pm 1\end{array} \right.\).

Ta có \(y'' = 2a - \dfrac{{2b\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = 2a - \dfrac{{2b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).

+ Với \(a = 1,\,\,b = 1 \Rightarrow y'' = 2 - \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow y''\left( 0 \right) = 0\).

+ Với \(a =  - 1,\,\,b = 1 \Rightarrow y'' =  - 2 - \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow y''\left( 0 \right) =  - 4 < 0\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(a =  - 1,\,\,b = 0\).

Chọn A.