Câu hỏi
Giải các phương trình sau:
Câu 1:
\({\cos ^2}x - 2\cos x + 2 = 0\)
- A \(x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \)
- B \(x = \pi + k\pi, k \in \mathbb{Z} \)
- C \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \)
- D Vô nghiệm
Lời giải chi tiết:
\({\cos ^2}x - 2\cos x + 2 = 0\)
Đặt \(\cos x = t\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)
\( \Rightarrow {t^2} - 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + 1 = 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
Chọn D.
Câu 2:
\(\frac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x + \cos x}} = 2\left( {1 + \sin x} \right)\)
- A \(\left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
- B \(\left[ \begin{array}{l}x = - \pi + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
- C \(\left[ \begin{array}{l}x = \pi + k\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)
- D \(\left[ \begin{array}{l}x = - \pi + k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\frac{{{{\cos }^3}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin \,x + \cos x}} = 2\left( {1 + \sin \,x} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\cos ^3}x - {\cos ^2}x = \left( {2 + 2\sin x} \right)\left( {\sin \,x + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x - {\cos ^2}x = 2\sin x + 2\cos x + 2{\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x = 2\sin x + 2\cos x + 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x\end{array}\)
Cộng \({\cos ^2}x\)vào cả hai vế
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\cos ^2}x + {\cos ^2}x = \left( {2\sin x + 2\sin x.\cos x} \right) + 2\cos x + 2{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x\left( {\cos x + 1} \right) = 2\sin x\left( {\cos x + 1} \right) + 2\cos x + 2\,\end{array}\)
(vì \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\))
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {{{\cos }^2}x - 2\sin x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + 1 = 0\\{\cos ^2}x - 2\sin x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\1 - {\sin ^2}x - 2\sin x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\sin \,x = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \cos \pi \\\sin \,x = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
Chọn A.