Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\tan \left( {4x - \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan \left( {4x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 4x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Có : \(0 \le x \le 6\pi  \Leftrightarrow 0 \le \frac{{k\pi }}{4} \le 6\pi  \Leftrightarrow 0 \le k \le 24\)

\(k = 0 \Rightarrow x = 0\)

\(\begin{array}{l}k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\\k = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\\...\\k = 24 \Rightarrow x = 6\pi \end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đây là cấp số cộng có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\d = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{25}} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = \frac{{\left[ {2.0 + \left( {25 - 1} \right).\frac{\pi }{4}} \right]25}}{2} = 75\pi .\)

Chọn D.