Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 3x} \right) =  - \sin 3x =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ.

Xét đáp án B: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) =  - x.\cos \left( { - x} \right) =  - x\cos x =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ.

Xét đáp án C: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right)\tan \left( { - 2x} \right) =  - \cos x\tan 2x =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ.

Xét đáp án D: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\tan \left( { - x} \right)}}{{\sin \left( { - x} \right)}} = \dfrac{{ - \tan x}}{{ - \sin x}} = \dfrac{{\tan x}}{{\sin x}} = f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm chẵn.

Chọn D.