Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left| { - 2016x} \right| + \cos \left( { - 2017x} \right) = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x = f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow y = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x\) là hàm số chẵn.

Xét đáp án B: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{{2015}},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\cos \left( { - 2015x} \right)}}{{\sin \left( { - 2015x} \right)}} + 2016\sin \left( { - x} \right) = \dfrac{{\cos \left( {2015x} \right)}}{{ - \sin \left( {2015x} \right)}} - 2016\sin x =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow y = \cot 2015x + 2016\sin x\) là hàm số lẻ.

Xét đáp án C: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{{4032}} + \dfrac{{k\pi }}{{2016}};\,\,\dfrac{{l\pi }}{{2017}}|k,l \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\sin \left( { - 2016x} \right)}}{{\cos \left( { - 2016x} \right)}} + \dfrac{{\cos \left( { - 2017x} \right)}}{{\sin \left( { - 2017x} \right)}} =  - \tan 2016x - \cot 2017x =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow y = \tan 2016x + \cot 2017x\) là hàm số lẻ.

Xét đáp án D: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = 2016.\cos \left( { - x} \right) + 2017.\sin \left( { - x} \right) = 2016.\cos x - 2017.\sin x \ne  \pm f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow y = 2016\cos x + 2017\sin \,x\) không chẵn không lẻ.

Chọn A.