Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \tan 4x\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}|k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Có: \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 4x} \right) = \dfrac{{\sin \left( { - 4x} \right)}}{{\cos \left( { - 4x} \right)}} =  - \dfrac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} =  - \tan 4x =  - f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \tan 4x\) là hàm số lẻ.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Có: \(g\left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos x \Rightarrow g\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) = \cos x = g\left( x \right)\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\) là hàm số chẵn.

Chọn D.