Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Xét tính đơn điệu của hàm số.

- Tìm giá trị lớn nhất trong khoảng đã cho.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có \(y = \dfrac{{2mx + 1}}{{m - x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{2{m^2} + 1}}{{{{\left( {m - x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {2;3} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 3 \right)\,\,\forall x \in \left[ {2;3} \right].\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;3} \right]}  = y\left( 3 \right) =  - \dfrac{1}{3}.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{6m + 1}}{{m - 3}} =  - \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 18m + 3 =  - m + 3 \Leftrightarrow m = 0.\)                        

Chọn A