Phương pháp giải:

+) Gọi \(UCLN\left( {a,b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = d.m\\b = d.n\end{array} \right.\,\,,\,\,\,UCLN\,\left( {m,n} \right) = 1,\,\,\,m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}.\)

+) Áp dụng công thức: \(BCNN\left( {a;\,\,b} \right).UCLN\left( {a;\,\,b} \right) = ab.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(UCLN\left( {a,\,\,b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = md\\b = nd\end{array} \right.,\,\,\,\,\left( {m,\,\,n} \right) = 1\,\) với \(m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

Theo bài ra ta có: \(BCNN\left( {a;\,\,b} \right).UCLN\left( {a,\,\,b} \right) = ab \Rightarrow BCNN\left( {a;\,\,b} \right) = \frac{{ab}}{{UCLN\left( {a,\,\,b} \right)}} = \frac{{md.nd}}{d} = mnd\)

+) \(a + b = 28 \Rightarrow dm + dn = 28 \Rightarrow \left( {m + n} \right)d = 28\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow d \in U\left( {28} \right)\)

+) \(UCLN\left( {a,\,\,b} \right) + 2BCNN\left( {a;\,\,b} \right) = 100 \Rightarrow d + 2mnd = 100 \Rightarrow d\left( {1 + 2mn} \right) = 100\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow d \in U\left( {100} \right)\)

\( \Rightarrow d \in UC\left( {28,100} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}28 = {2^2}.7\\100 = {2^2}{.5^2}\end{array} \right. \Rightarrow UCLN\left( {28,100} \right) = {2^2} = 4\)

\( \Rightarrow d \in UC\left( {28,100} \right) = U\left( 4 \right) = \left\{ {1;2;4} \right\}\)

TH1: Với \(d = 1\)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có: \(m + n = 28.\)

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có: \(1 + 2mn = 100 \Rightarrow 2mn = 99\)

\( \Rightarrow \) Không có cặp số tự nhiên \(m,\,\,n\) thỏa mãn bài toán.

TH2: Với \(d = 2\)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có: \(m + n = 14.\)

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có: \(1 + 2mn = 50 \Rightarrow 2mn = 49\)

\( \Rightarrow \) Không có cặp số tự nhiên \(m,\,\,n\) thỏa mãn bài toán.

TH3: Với \(d = 4\)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có: \(m + n = 7.\)

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có: \(1 + 2mn = 25 \Rightarrow 2mn = 24 \Rightarrow mn = 12.\)

Vì \(m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,UCLN\left( {m,\,\,n} \right) = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 4\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4.3 = 12\\b = 4.4 = 16\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 3\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4.4 = 16\\b = 4.3 = 12\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy cặp số thỏa mãn bài toán là:\(\left( {a;\,\,b} \right) = \left\{ {\left( {12;\,\,16} \right),\,\,\left( {16;\,\,12} \right)} \right\}.\)

Chọn C.