Phương pháp giải:

- Áp dụng phép chia có dư.

- Tìm số ước của một số tự nhiên \(a = a_1^{{k_1}}.a_2^{{k_2}}\) (Phân tích ra thừa số nguyên tố; Số ước tính theo công thức \(\left( {{k_1} + 1} \right)\left( {{k_2} + 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(398\) chia \(a\) dư \(38\) nên \(\left( {398 - 38} \right)\,\, \vdots \,\,a \Rightarrow 360\,\, \vdots \,\,a\).

Vì \(450\) chia \(a\) dư \(18\) nên \(\left( {450 - 18} \right)\,\, \vdots \,\,a \Rightarrow 432\,\, \vdots \,\,a\)

\( \Rightarrow a \in UC\left( {360;432} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}360 = {2^3}{.3^2}.5\\432 = {2^4}{.3^3}\end{array} \right\} \Rightarrow UCLN\left( {360;432} \right) = {2^3}{.3^2} = 72\)

\( \Rightarrow a \in UC\left( {360;438} \right) = U\left( {72} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,9;\,\,12;\,\,18;\,\,24;\,\,36;\,\,72} \right\}\)

Tập hợp trên có \(\left( {3 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right) = 12\) phần tử.

Vậy có \(12\) giá trị của \(a\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn C.