Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là.
- A \(\dfrac{{5\pi }}{3}\)
- B \(\dfrac{{5\pi \sqrt {15} }}{{54}}\)
- C \(\dfrac{{4\pi \sqrt 3 }}{{27}}\)
- D \(\dfrac{{5\pi \sqrt {15} }}{8}\)
Lời giải chi tiết:
\( + )\)Xét \(\Delta SAB\): Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.1 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( + )\)Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAB \Rightarrow GS = GB = GA = \dfrac{2}{3}.SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\( + )\)Gọi \(G'\) là trọng tâm\(\Delta ABC \Rightarrow G'A = G'B = G'C = \dfrac{2}{3}CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow R = \sqrt {G{S^2} + G'{B^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow R = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - \dfrac{1}{4}} \Leftrightarrow R = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}\\ \Rightarrow V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{5\sqrt {15} }}{{54}}\pi .\end{array}\)
Chọn B
Câu hỏi trước
