Câu hỏi
Một mặt phẳng đi qua đỉnh \(S\) của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân \(SAB\) đồng thời tạo với mặt phẳng đường tròn đáy góc \({45^0}\). Biết rằng đường cao của hình nón \(SO = a\) và tam giác \(OAB\) vuông cân. Tính thể tích của khối nón?
- A \(V = \dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
- B \(V = \pi {a^3}\)
- C \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
- D \(V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Lời giải chi tiết:
\( + \)\(\left( {SAB} \right)\) tạo với đáy một góc \({45^0} \Rightarrow \widehat {SHO} = {45^0}\)
\( \Rightarrow \Delta SHO\) vuông cân tại \(O\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = OH = a\\SH = a\sqrt 2 \end{array} \right.\)
\( + \)\(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) có đường cao \(OH\).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{{r^2}}} + \dfrac{1}{{{r^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{r^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow r = a\sqrt 2 \)
\( + \)\({V_{non}} = \dfrac{1}{3}.\pi .{r^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.a = \dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}.\)
Chọn A
Câu hỏi trước
