Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) Suy ra, các số đó đều chia hết cho \(d\). Lập luận  để chứng minh \(d = 1\).

Áp dụng thêm \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right. \Rightarrow a \pm b \vdots m\) và \(a \vdots b \Rightarrow k.a \vdots b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(2n + 5\) và \(4n + 12\) với \(n \in \mathbb{N}\).

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}2n + 5 \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {2n + 5} \right) \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4n + 10 \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {4n + 12} \right) - \left( {4n + 10} \right) \vdots d\)

\( \Rightarrow 4n + 12 - 4n - 10 \vdots d\)

\( \Rightarrow 2 \vdots d\)

\( \Rightarrow d \in U\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}\)

Vì \(2n\) chẵn nên \(2n + 5\) là số tự nhiên lẻ.

Với \(d = 2\) thì \(2n + 5 \vdots 2\) (Vô lý) \( \Rightarrow d = 2\) (loại)

\( \Rightarrow d = 1\)

\( \Rightarrow \)\(2n + 5\) và \(4n + 12\) là hai số nguyên tố cùng nhau với \(n \in \mathbb{N}\).