Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) Suy ra, các số đó đều chia hết cho \(d\). Lập luận  để chứng minh \(d = 1\).

Áp dụng thêm \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right. \Rightarrow a \pm b \vdots m\) và \(a \vdots b \Rightarrow k.a \vdots b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số \(2n + 1\) và \(3n + 1\)\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

\(\begin{array}{l}UCLN\left( {2n + 1,3n + 1} \right) = d\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 1 \vdots d\\3n + 1 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {2n + 1} \right) \vdots d\\2.\left( {3n + 1} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6n + 3 \vdots d\\6n + 2 \vdots d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {6n + 3} \right) - \left( {6n + 2} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 6n + 3 - 6n - 2 \vdots d\\ \Rightarrow \left( {6n - 6n} \right) + \left( {3 - 2} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 1 \vdots d\\ \Rightarrow d \in U\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow d = 1\end{array}\)

Vậy \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).