Phương pháp giải:

Dạng bài: Tìm hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) khi biết tổng hoặc hiệu giữa \(UCLN\) và \(BCNN\).

+) Đặt \(UCLN\left( {a,b} \right) = d\).

Áp dụng công thức \(BCNN\left( {a;b} \right).UCLN\left( {a;b} \right) = ab\) suy ra \(BCNN\left( {a,b} \right) = \frac{{ab}}{{UCLN\left( {a,b} \right)}}\)

+) Thay \(BCNN\left( {a,b} \right)\) và \(UCLN\left( {a,b} \right)\) vừa xác định được vào biểu thức của đề bài. Khi đó, tìm được \(d,m,n\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d = UCLN\left( {a,b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = d.m\\b = d.n\end{array} \right. \left( {m,n} \right) = 1,\,\,\,\left( {d,\,\,m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có: \(UCLN\left( {a,b} \right).BCNN\left( {a,b} \right) = ab \Rightarrow BCNN\left( {a,b} \right) = \frac{{ab}}{{UCLN\left( {a,b} \right)}} = \frac{{ab}}{d} = \frac{{d.m.d.m}}{d} = dmn\)

Thay \(UCLN\left( {a,b} \right) = d\) và \(BCNN\left( {a,b} \right) = dmn\) vào \(UCLN\left( {a,b} \right) + BCNN\left( {a,b} \right) = 19\) ta được:

\(d + dmn = 19 \Rightarrow d.\left( {1 + mn} \right) = 19\)

+) Với \(d = 1 \Rightarrow 1 + mn = 19 \Rightarrow mn = 18\).

Mà \(\left( {m,n} \right) = 1\) nên ta có bảng sau:

+) Với \(d = 19 \Rightarrow 1 + mn = 1 \Rightarrow mn = 0\) (loại)

Vậy các giá trị \(\left( {a;b} \right)\) cần tìm là \(\left( {2;9} \right),\left( {9;2} \right),\left( {1;18} \right),\left( {18;1} \right)\).

Chọn A.