Phương pháp giải:

Dạng bài: Tìm hai số \(a\) và \(b\) khi biết tích và biểu thức liên quan giữa \(BCNN\) và \(UCLN\).

+) Xác định \(UCLN\left( {a,b} \right)\) từ Biều thức của đề bài và công thức \(BCNN\left( {a;b} \right).UCLN\left( {a;b} \right) = ab\)

+) Bài toán về dạng tìm hai số khi biết \(UCLN\left( {a,b} \right)\) và \(a.b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}BCNN\left( {a,b} \right) = 20.UCLN\left( {a,b} \right)\\BCNN\left( {a,b} \right).UCLN\left( {a,b} \right) = ab = 180 \Rightarrow BCNN\left( {a,b} \right) = \frac{{180}}{{UCLN\left( {a,b} \right)}}\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \frac{{180}}{{UCLN\left( {a,b} \right)}} = 20.UCLN\left( {a,b} \right)\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {a,b} \right).UCLN\left( {a,b} \right) = 9\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {a,b} \right) = 3\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3.m\\b = 3.n\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( {m,n} \right) = 1\)

Mà \(a.b = 180 \Rightarrow 3.m.3.n = 180 \Rightarrow m.n = 20\). Kết hợp với \(m\) và \(n\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên ta có:

+) Với \(m = 4;n = 5 \Rightarrow a = 12;b = 15\).

+) Với \(m = 5;n = 4 \Rightarrow a = 15;b = 12\).

+) Với \(m = 1;n = 20 \Rightarrow a = 3;b = 60\).

+) Với \(m = 20;n = 1 \Rightarrow a = 60;b = 3\).

Vậy các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) cần tìm là \(\left( {15;12} \right),\left( {12;15} \right),\left( {3;60} \right),\left( {60;3} \right).\)

Chọn D.