Phương pháp giải:

Dạng bài: Tìm hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) khi biết hiệu \((\)\(a - b = c\)\()\)và bội chung nhỏ nhất

+) Đặt \(\left( {a,b} \right) = k{}^{}\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = km\\b = kn\end{array} \right.\)

+) Thay vào \(a - b = c\)\( \Rightarrow k \in U\left( c \right)\)

+) Áp dụng \(BCNN\left( {a,b} \right).UCLN\left( {a,b} \right) = ab\) suy ra \(k \in U\left( {BCNN\left( {a,b} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow \) Xác định được \(k\)\( \Rightarrow m,n\)

\( \Rightarrow \)Tìm được hai số \(a\) và \(b\).         

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left( {a,b} \right) = k{}_{}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) và \(a > b\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = km\\b = kn\end{array} \right.  \left( {m,n} \right) = 1{,^{}}m > n\)

Theo bài ra ta có: \(a - b = 7 \Leftrightarrow km - kn = 7 \Leftrightarrow k.\left( {m - n} \right) = 7 \Rightarrow k \in U\left( 7 \right)\)                           \(\left( 1 \right)\)

Ta lại có: \(UCLN\left( {a,b} \right).BCNN\left( {a,b} \right) = ab\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {a,b} \right) = \frac{{ab}}{{UCLN\left( {a,b} \right)}} = \frac{{km.kn}}{k} = kmn \Rightarrow kmn = 140 \Rightarrow k \in U\left( {140} \right)  \left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(k \in UC\left( {7,140} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {1;7} \right\}\)

+) Với \(k = 1 \Rightarrow m - n = 7\) và \(m.n = 140\)\( \Rightarrow \)không có giá trị của \(m\) và \(n\) thỏa mãn.

+) Với \(k = 7 \Rightarrow m - n = 1\) và \(m.n = 20\)

\( \Rightarrow m = 5;n = 4\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = k.m = 7.5 = 35\\b = k.n = 7.4 = 28\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 35\\b = 28\end{array} \right.\)

Vậy cặp số \(\left( {a;b} \right)\) cần tìm là \(\left( {35;28} \right)\).

Chọn B.