Phương pháp giải:

+) Xác định \(d\)  là ước chung của các số cho trước.

+) Ra kết quả \(d \ne 1\), thay ngược lại để tìm \(n\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của\(7n + 13\) và \(2n + 4\)\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7n + 13 \vdots d\\2n + 4 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {7n + 13} \right) \vdots d\\7\left( {2n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}14n + 26 \vdots d\\14n + 28 \vdots d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {14n + 28} \right) - \left( {14n + 26} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 14n + 28 - 14n - 26 \vdots d\\ \Rightarrow 2 \vdots d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\end{array}\)

+) Với \(d = 2\) ta có \(7n + 13 \vdots 2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right) + 6 \vdots 2\). Mà \(6 \vdots 2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right) \vdots 2\).

Mặt khác, \(\left( {2;7} \right) = 1\) suy ra \(\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)\( \Rightarrow n = 2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Thử lại, với \(n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}7\left( {2k + 1} \right) + 13 = 7.2k + 7 + 13 = 7.2k + 20\\7.2k\,\, \vdots \,\,2\\20\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow 7n + 13\,\, \vdots \,\,2\)

Kết luận:

+) Với \(n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 2\).

+) Với \(n \ne 2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)thì \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 1\).

Chọn D.