Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta có:

 \(\begin{array}{l}\frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} = \left| {x + 2} \right| - x + m\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} - \left| {x + 2} \right| + x = m\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} - \left| {x + 2} \right| + x\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;0;1;\,2} \right\}\).

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{x + 2}}{{\left| {x + 2} \right|}} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in D.\end{array}\).

Do .\(\left| {x + 2} \right| \ge x + 2\,\,\forall x \Rightarrow \left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge 0\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in D \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ta có bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = m\) có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m \ge 2\).

Chọn  B.