Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đổi đỉnh để tính khoảng cách cần tính.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Ta có: \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB.\)

Lại có: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{HB}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right).\)

Kẻ \(HK \bot BD,\,\,\,HI \bot SK.\)

\( \Rightarrow HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = HI.\)

Ta có: \(\Delta SAB\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

\(HK = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SHK\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HI\) ta có:

\(\begin{array}{l}HI = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\\ \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {D;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2.HI = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{14}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\end{array}\)

Chọn  B.