Câu hỏi
Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:
- A \(\frac{{\sqrt {21} a}}{{14}}\)
- B \(\frac{{\sqrt {21} a}}{7}\)
- C \(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)
- D \(\frac{{\sqrt {21} a}}{{28}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc đổi đỉnh để tính khoảng cách cần tính.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)
Ta có: \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB.\)
Lại có: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Ta có: \(\frac{{AB}}{{HB}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right).\)
Kẻ \(HK \bot BD,\,\,\,HI \bot SK.\)
\( \Rightarrow HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = HI.\)
Ta có: \(\Delta SAB\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
\(HK = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SHK\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HI\) ta có:
\(\begin{array}{l}HI = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\\ \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {D;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2.HI = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{14}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\end{array}\)
Chọn B.