Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

a) Mọi số tự nhiên lớn hơn \(3\)  khi chia cho \(6\)  chỉ có thể xảy ra một trong \(6\)  trường hợp: dư \(0,\) dư \(1,\) dư \(2,\)  dư \(3,\)  dư \(4\) và  dư \(5.\)

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(0\)  thì \(p = 6k \Rightarrow p\) là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(1\)  thì \(p = 6k + 1.\)

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(2\)  thì \(p = 6k + 2 = 2\left( {3k + 1} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\)  nên \(p\)  là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(3\)  thì \(p = 6k + 3 = 3\left( {2k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên \(p\)  là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\) dư \(4\)  thì \(p = 6k + 4 = 2\left( {3k + 2} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\) nên \(p\)  là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(5\)  thì \(p = 6k + 5\)

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn \(3\) chia cho \(6\) chỉ có thể dư \(1\)  hoặc dư \(5,\)  tức là \(p = 6k + 1\)  hoặc \(p = 6k + 5\)

b) Nếu \(p\)  có dạng \(p = 6k + 1 \Rightarrow 8p + 1 = 8\left( {6k + 1} \right) + 1 = 48k + 9 = 3\left( {16k + 3} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên số này là hợp số.

\( \Rightarrow p\)  không có dạng \(p = 6k + 1\) mà có dạng  \(p = 6k + 5 \Rightarrow 4p + 1 = 4\left( {6k + 5} \right) + 1 = 24k + 21 = 3\left( {8k + 7} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên là số này là hợp số.

Vậy \(4p + 1\) là hợp số (đpcm).