Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

a) Với: \(n = 3k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 1} \right) = 3k\left( {3k + 1} \right) + 3k + 1.\)

\( \Rightarrow {n^2}\) chia 3 dư 1 ( Vì \(3k\left( {k + 1} \right) \vdots 3;3k \vdots 3\))

Với: \(n = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 2} \right)\left( {3k + 2} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right) + 2\left( {3k + 2} \right)\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 6k + 4\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 3\left( {2k + 1} \right) + 1\end{array}\)

Vì \(3k\left( {3k + 2} \right)\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,3\left( {2k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

\( \Rightarrow {n^2}\) chia \(3\) dư \(1.\) 

b) Vì \(p\)  là số nguyên tố lớn hơn \(3\)  nên \(p\)  không chia hết cho \(3.\)

Vậy \({p^2}\) chia cho \(3\)  dư \(1\)  tức là \({p^2} = 3k + 1 \Rightarrow {p^2} + 2003 = 3k + 1 + 2003 = 3k + 2004\,\, \vdots \,\,3\)

(Vì \(3k\,\, \vdots \,\,3;\,\,\,2004\,\, \vdots \,\,3\)).

Vậy \({p^2} + 2003\) là hợp số.