Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Nếu \(p = 2 \Rightarrow 8p - 1 = 15\) là hợp số (ktm).

Nếu \(p = 3 \Rightarrow 8p - 1 = 23\) là số nguyên tố và \(8p + 1 = 25\) là hợp số (tm).

Nếu \(p > 3 \Rightarrow p = 3k + 1;\,\,\,p = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

 Với \(p = 3k + 1\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow 8p + 1 = 8\left( {3k + 1}+1 \right) = 24k + 9 = 3\left( {8k + 3} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên \(8p + 1\) là hợp số.

 Với \(p = 3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow 8p - 1 = 8\left( {3k + 2} \right) - 1 = 24k + 15 = 3\left( {8k + 5} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên \(8p - 1\) là hợp số. (vô lý)

Vậy \(8p + 1\) là hợp số khi \(8p - 1\) và \(p\)  là các số nguyên tố.