Câu hỏi
Cho lăng trụ tam giác\(ABC.A'B'C'\) có\(BB' = a\), góc giữa đường thẳng \(BB'\) và mặt\(\left( {ABC} \right)\) bằng\({60^0}\); tam giác \(ABC\) vuông tại\(C\) và \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc của \(B'\) trên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối tứ diện \(A'ABC\) theo \(a\).
- A \({a^3}\)
- B \(\dfrac{9}{{208}}{a^3}\)
- C \(\dfrac{1}{{208}}{a^3}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
Lời giải chi tiết:
\(\sin {60^0} = \dfrac{{B'O}}{{B'B}} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{B'O}}{a} \Leftrightarrow B'O = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\tan {60^0} = \dfrac{{B'O}}{{BO}} \Rightarrow BO = \dfrac{a}{2} \Rightarrow BH = \dfrac{{3a}}{4}\).
Trong tam giác vuông, cạnh đối diện của góc \({30^0}\) bằng nửa cạnh huyền \( \Rightarrow AC = \dfrac{1}{2}AB\).
Đặt \(AC = x \Rightarrow AB = 2x \Rightarrow BC = x\sqrt 3 \).
\(B{C^2} + H{C^2} = B{H^2} \Rightarrow 3{x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{4}{x^2} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {52} }}\).
\({S_{CAB}} = \dfrac{1}{2}CB.CA = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3\sqrt 3 a}}{{\sqrt {52} }}.\dfrac{{3a}}{{\sqrt {52} }} = \dfrac{{9\sqrt 3 {a^2}}}{{104}}\).
\({V_{A'ABC}} = {V_{B'ABC}} = \dfrac{1}{3}B'O.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{9\sqrt 3 {a^2}}}{{104}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{208}}\).
Chọn B
Câu hỏi trước
