Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Ta có: \(\Delta SAB = \Delta SAC = \Delta SBC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AB = BC = AC = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\) (do chóp S.ABC đều)

Ta có: \(AD = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 \sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Xét tam giác vuông SOA có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{6}{a^3}\)

Cách 2:

Ta có: SA; SB; SC đôi một vuông góc nên: \(SA \bot \left( {SBC} \right)\) và

tam giác SBC vuông tại S.

\( \Rightarrow {V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}.\)

Chọn A.