Lời giải chi tiết:

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABC

Vì chóp S.ABC đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow OA\) là hình chiếu vuông góc của SA lên \(\left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO} = {60^0}\)

\(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SAO\) vuông tại O

Gọi D là trung điểm của BC ta có: \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow SO = AO.\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3  = a\)

Vì tam giác ABC đều nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}a\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Chọn B.