Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân ở \(A\), cạnh \(BC = 2\sqrt 3 a\). Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng \({a^3}\), tính góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
- A \(\dfrac{\pi }{6}\)
- B \(\dfrac{\pi }{3}\)
- C \(\dfrac{\pi }{4}\)
- D \(\arctan \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Lời giải chi tiết:
+ Xác định góc giữa \(SA\) và \(\left( {SBC} \right)\).
\(S\) chung;
Từ \(A\) hạ \(AM \bot \left( {SBC} \right)\,\,(M:\) trung điểm của \(BC)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {ASM}\).
+ Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow 2A{B^2} = {\left( {2\sqrt 3 a} \right)^2} = 12{a^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = 6{a^2} \Rightarrow AB = a\sqrt 6 \end{array}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 6 .a\sqrt 6 = 3{a^2}\)
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{\Delta ABC}} = {a^3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}SM.3{a^2} = {a^3} \Leftrightarrow SM = a\).
Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(M\) có \(\tan \widehat {ASM} = \dfrac{{AM}}{{SM}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {ASM} = {60^0}\).
Chọn B
Câu hỏi trước
