Lời giải chi tiết:

Lập phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3} \right)\):

\(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = k\left( {x - 1} \right) + 3\)

Để đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3} \right)\) tiếp xúc với đồ thị \(\left( C \right)\):

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + 2{x^2} = k\left( {x - 1} \right) + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{x^3} + 4x = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế (2) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^4} + 2{x^2} = \left( {4{x^3} + 4x} \right)\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} = 4{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} - 4x + 3\\ \Leftrightarrow 3{x^4} - 4{x^3} + 2{x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^3} - {x^2} + x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3{x^3} - {x^2} + x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3\left( {{x^3} - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Với \(x = 1\) thì \(k = {4.1^3} + 4.1 = 8\).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 8\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 8x - 5\).

Chọn A