Lời giải chi tiết:

Lập phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( { - 6;5} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng có dạng: \(y = k\left( {x + 6} \right) + 5 \Leftrightarrow y = kx + 6k + 5\)

Để đường thẳng đi qua \(A\left( { - 6;5} \right)\)tiếp xúc với đồ thị hàm số \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} = kx + 6k + 5\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế \(\left( 2 \right)\)vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} = \dfrac{{ - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + 5\,\,\,\,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 0\end{array} \right.\,\,\)

Với \(x = 6 \Leftrightarrow k =  - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{2}\)

Với \(x = 0 \Leftrightarrow k =  - 1 \Leftrightarrow y =  - x - 1\)

Chọn C