Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {3m + 1} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0\)

+ Nhẩm  thấy có nghiệm \(x = 1\).

\( \Rightarrow \) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(\left( {x - 1} \right)\left( {\,\,\,\,\,\,\,\,bac\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \right) = 0\)

+ Tìm phương trình bậc 2 bằng cách chia bảng như sau:

Phương pháp: Hệ số đầu hạ xuống, xong lấy nghiệm \(1\) nhân ngang rồi cộng chéo lên

\( \Rightarrow \) \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + m + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

\( + \,\,\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt\( \Rightarrow \) Phương trình (1)  có 1 nghiệm kép \( \ne 1\)  hoặc (1) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm \(x = 1\)

TH1: (1) có nghiệm kép khác 1 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' = 0}\\
{m \ne 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} - m - 1 = 0}\\
{m \ne 2}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}\\
{m \ne 2}
\end{array}} \right. \Rightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)

TH2: (1) có 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm \(x = 1\)  

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' > 0}\\
{1 - 2m + m + 1 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} - m - 1 > 0}\\
{m = 2}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\
{m > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right.}\\
{m = 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < - 0.61}\\
{m > 1,61}
\end{array}} \right.}\\
{m = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)

\( \Rightarrow m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có 3 giá trị.

Chọn C