Lời giải chi tiết:

+ Phương trình hoành độ giao điểm:

\( - x + m = \dfrac{{x - 1}}{{2x}}\,\,\left( {x \ne 0} \right) \Leftrightarrow 2x\left( { - x + m} \right) = x - 1 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Theo đlí viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{2m - 1}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

+ Để đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\1 \ne 0\,\,(luon\,\,dung)\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 8 > 0 \Rightarrow \) Đúng với mọi m

+ Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {{x_1}; - {x_1} + m} \right)\\B\left( {{x_2}; - {x_2} + m} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {{{2m - 1} \over 2}} \right)}^2} + 2} \)

+ Mà AB min  \( \Rightarrow {\left( {\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2m - 1}}{2}} \right)}^2} + 2} } \right)_{\min }}\mathop  \Rightarrow \limits^{Mo{\rm{d}}e + 7} Min\,\,khi\,\,m = \dfrac{1}{2}\).

Chọn A