Lời giải chi tiết:

+ Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x + m = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow \left( {x + m} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x - 1 \Rightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Theo đlí viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1 - m\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = m + 1\end{array} \right.\)

+ Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phần biệt \( \Rightarrow \)Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\1 - \left( {m - 1} \right) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) > 0\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 3 - 2\sqrt 3 \\m > 3 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\left( * \right)\)

Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right)\\B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \)

Mà \(AB \le 4 \Leftrightarrow 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 16 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 8\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 8 \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 8\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 \le 0 \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 5  \le m \le 3 + 2\sqrt 5 \,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Từ \(\left( * \right)\left( {**} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 2\sqrt 5  \le m < 3 - 2\sqrt 3 \\3 + 2\sqrt 3  < m \le 3 + 2\sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1,47 \le m <  - 0,46\\6,46 < m \le 7,47\end{array} \right.\).

Vậy 1 giá trị nguyên dương là \(m = 7\).

Chọn C