Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x - 1 = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) (ĐK: \(x \ne  - 1\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - 1 - \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x + 1} \right) - x - 1 - 2x + 1}}{{x + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - x - 1 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y =  - 1 \Rightarrow A\left( {0; - 1} \right)\)

Với \(x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow B\left( {2;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {2;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 .\)

Chọn C