Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị  \(\left( P \right)\)

Với \(a > 0:\) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \({y_{\min }} =  - \frac{\Delta }{{4a}}\) đạt được tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}.\)

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0}^2 + b{x_0} + c.\)

Lời giải chi tiết:

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt cực đại bằng \(4\) khi \(x =  - 2 \Rightarrow \) parabol  có đỉnh  \(I\left( { - 2;4} \right)\)

Lại có parabol đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 2b + c = 4}\\\begin{array}{l}c = 6\\ - \frac{b}{{2a}} =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = 2}\\{c = 6}\end{array}} \right.} \right.\) .

Vậy parabol đã cho có hàm số: \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 2x + 6.\)

Chọn A.