Phương pháp giải:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và đoạn \(\left[ {\alpha ;\beta } \right] \subset \mathbb{R}.\) Khi đó đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\alpha ;\beta } \right]\) là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:  \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( \alpha  \right);f\left( \beta  \right)} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( \alpha  \right);f\left( \beta  \right)} \right\}\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {f\left( \alpha  \right)} \right|;\left| {f\left( \beta  \right)} \right|} \right\}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(2\left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) \le 4 \Leftrightarrow \left( {2 - b - c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) - bc - 4 \le 0\)

Xét  \(f\left( a \right) = \left( {2 - b - c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) - bc - 4\) với ẩn \(a \in \left[ {0;2} \right].\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2\left( {b + c} \right) - bc - 4 =  - \left( {2 - b} \right)\left( {2 - c} \right) \le 0\) 

\(f\left( 2 \right) = \left( {2 - b - c} \right)2 + 2\left( {b + c} \right) - bc - 4 =  - bc \le 0\)

Suy ra \(f\left( a \right) \le \max \left\{ {f\left( 0 \right);\left. {f\left( 2 \right)} \right\} \le 0} \right.\) .

Vậy \(f\left( a \right) \le 4.\)

Chọn  A