Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(d \cap d' = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm \(I\)  là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = ax + b}\\{y = a'x + b'}\end{array}} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với  \(x =  - 2\)  thay vào \(y = 2x + 5,\) ta được \(y = 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 1.\)

Đồ thị hàm số cần tìm cắt đường thẳng \({\Delta _1}\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 2\) nên đi qua điểm \(A\left( { - 2;1} \right).\)

Do đó ta có:  \(1 = a.\left( { - 2} \right) + b\, \Leftrightarrow 2a - b =  - 1\,\,\,\,\,{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Với \(y =  - 2\) thay vào \(y =  - 3x + 4,\) ta được \( - 2 =  - 3x + 4 \Leftrightarrow x = 2.\)

Đồ thị hàm số cần tìm cắt đường thẳng \(y =  - 3x + 4\) tại điểm có tung độ bằng \( - 2\) nên đi qua điểm \(B\left( {2; - 2} \right).\)

Do đó ta có: \( - 2 = a.2 + b \Leftrightarrow 2a + b =  - 2\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a - b =  - 1\\2a + b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a =  - 3\\b = 2a + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{3}{4}}\\{b =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow y =  - \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}.\) 

Chọn  C