Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\)đi qua điểm \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b\)

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} + ){\rm{ }}d//d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b \ne b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b = b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \cap d' = \left\{ I \right\} \Leftrightarrow a \ne a'\\ + ){\rm{ }}d \bot d' \Leftrightarrow a.a' =  - 1\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(N\left( {4; - 1} \right)\) nên \( - 1 = a.4 + b \Leftrightarrow 4a + b =  - 1\,\,\,\,{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng \(4x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = 4x + 1 \Rightarrow 4.a =  - 1\,\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\) 

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ sau:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + b =  - 1}\\{4a =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{1}{4}}\\{b = 0}\end{array} \Rightarrow P = ab = 0} \right.} \right.\)

Chọn  A