Phương pháp giải:

Gọi tọa độ của các đỉnh \(B,\,\,C.\)

Dựa vào tính chất trọng tâm tam giác để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B \in {d_1}:\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow B\left( {b;\,\,b + 1} \right)\\C \in {d_2}:\,\,x - 2y - 4 = 0 \Rightarrow C\left( {2c + 4;\,\,c} \right)\end{array} \right..\)

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow G\left( {\frac{{b + 2c + 6}}{3};\,\,\frac{{b + c + 4}}{3}} \right).\) 

Lại có \(G \in {d_3}:\,\,y = 3 \Rightarrow \frac{{b + c + 4}}{3} = 3 \Rightarrow b + c = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Theo đề bài ta có: \(AB = 2\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{B^2} = 8 \Leftrightarrow {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow {\left( {b - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - 2 = 2\\b - 2 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4 \Rightarrow B\left( {4;\,\,5} \right)\\b = 0 \Rightarrow B\left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\\ + )\,\,\,b = 4 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 + c = 5 \Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow C\left( {6;\,\,1} \right)\\ + )\,\,\,b = 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow c = 5 \Rightarrow C\left( {0;\,\,5} \right)\end{array}\)

Lại có \(C \notin Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {4;\,\,5} \right)\\C\left( {6;\,\,1} \right)\end{array} \right..\)

Chọn  A.