Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của trung điểm và công thức tính diện tích của tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B,\,\,C \in \Delta :\,\,x - 6y + 16 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {6b - 16;\,\,\,b} \right)\\C\left( {6c - 16;\,\,\,c} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {b \ne c} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {6c - 6b;\,\,c - b} \right).\)

Theo đề bài ta có: \(E\) là trung điểm của \(BC,\,\,{x_E} =  - 1\)

\( \Rightarrow 6b - 16 + 6c - 16 =  - 2 \Leftrightarrow 6\left( {b + c} \right) = 30 \Leftrightarrow b + c = 5\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Lại có: \({S_{ABC}} = 8\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {A;\,\,\Delta } \right).BC = 8\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{\left| { - 2 - 6.5 + 16} \right|}}{{\sqrt {1 + {6^2}} }}.\sqrt {{{\left( {6c - 6b} \right)}^2} + {{\left( {c - b} \right)}^2}}  = 8\\ \Leftrightarrow 16\sqrt {{{\left( {c - b} \right)}^2}}  = 16\\ \Leftrightarrow \left| {c - b} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - b = 1\\c - b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1 + b\\c =  - 1 + b\end{array} \right.\\ + )\,\,\,\,c = 1 + b \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow b + 1 + b = 5 \Leftrightarrow b = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow c = 1 + 2 = 3.\\ \Rightarrow B\left( { - 4;\,\,2} \right),\,\,\,C\left( {1;\,\,3} \right).\\ + )\,\,\,c =  - 1 + b \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow b - 1 + b = 5 \Leftrightarrow b = 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

Chọn C.