Lời giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC đều nên \(AD \bot BC\) (trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác cân)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AD\\BC \bot SA\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)  

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SD \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AD \bot BC\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;AD} \right)} = \widehat {SDA} = {60^0}\)  

 (Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AD \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại A nên \(\widehat {SDA} < {90^0}\))

Vì tam giác ABC đều nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\,{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow SA = AD.\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{2}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Chọn A.