Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

- Viết công thức tính hai phần diện tích \({S_1},{S_2}\).

- Sử dụng điều kiện \({S_1} = {S_2}\) tìm \(a\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm : \(\dfrac{3}{4}x = \dfrac{1}{2}{x^2} + a \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 4a = 0\,\,(*)\).

Ta có \((d)\) cắt \((P)\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 32a > 0\\2a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < a < \dfrac{9}{{32}}\).

Gọi hai nghiệm phân biệt  của (*) là \({x_1} < {x_2}\).

Ta có : \({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{3}{4}x + a} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\dfrac{1}{6}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + ax} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1}\)

\({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{3}{4}x - a} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( { - \dfrac{1}{6}{x^3} + \dfrac{3}{8}{x^2} - ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\)\( = \left( { - \dfrac{1}{6}x_2^3 + \dfrac{3}{8}x_2^2 - a{x_2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1}} \right)\)

Do \({S_1} = {S_2}\) nên \(\dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1} =  = \left( { - \dfrac{1}{6}x_2^3 + \dfrac{3}{8}x_2^2 - a{x_2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1}} \right)\)

\(\dfrac{1}{6}x_2^3 - \dfrac{3}{8}x_2^2 + a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 4x_2^2 - 9{x_2} + 24a = 0\)

Do \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên ta có hệ phương trình \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x_2^2 - 3{x_2} + 4a = 0\\4x_2^2 - 9{x_2} + 24a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_2^2 - 3{x_2} + 4a = 0\\16a - 3{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{{256}}{9}{a^2} - 16a + 4a = 0\\{x_2} = \dfrac{{16a}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{512}}{9}{a^2} - 12a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \dfrac{{27}}{{128}}\end{array} \right..\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện của \(a\) nên ta có \(a = \dfrac{{27}}{{128}} \in \left( {\dfrac{3}{{16}};\dfrac{7}{{12}}} \right)\).

Chọn B.