Phương pháp giải:

- Dựng thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\).

- Sử dụng phương pháp phân chia khối đa diện để tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(DEF\) là thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\). Khi đó \(D,E,F\) là trung điểm của các cạnh \(AA',BB',CC'\).

Ta có : \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.h = \dfrac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4}.6 = 24\sqrt 3  \Rightarrow {V_{ABC.DEF}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} = 12\sqrt 3 \).

\(\dfrac{{{V_{A.DMN}}}}{{{V_{A.A'B'C'}}}} = \dfrac{{AD}}{{AA'}}.\dfrac{{AM}}{{AB'}}.\dfrac{{AN}}{{AC'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}\) \( \Rightarrow {V_{A.DMN}} = \dfrac{1}{8}{V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{6}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{24}}.24\sqrt 3  = \sqrt 3 \)

Tương tự ta có \({V_{B.MEP}} = {V_{C.NFP}} = \sqrt 3 \).

Vậy \({V_{MNPABC}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{ABC.DEF}} - {V_{A.DMN}} - {V_{B.MEP}} - {V_{C.NFP}} = 24\sqrt 3  - 12\sqrt 3  - \sqrt 3  - \sqrt 3  - \sqrt 3  = 9\sqrt 3 \).

Chọn A.