Câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng
- A \(\dfrac{{{\pi ^2} + 15\pi }}{{16}}\)
- B \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi - 16}}{{16}}\)
- C \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi - 4}}{{16}}\)
- D \(\dfrac{{{\pi ^2} - 4}}{{16}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) bàng cách lấy nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\) và thay \(f\left( 0 \right) = 4\).
- Tính tích phân đã cho và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{{\sin }^2}x + 1} \right)dx} = \int {\left( {2 - \cos 2x} \right)dx} = 2x - \dfrac{{\sin 2x}}{2} + C\)
Do \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = 2x - \dfrac{{\sin 2x}}{2} + 4\).
Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x - \dfrac{{\sin 2x}}{2} + 4} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi - 4}}{{16}}\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
