Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({S_{\Delta MAB}} = {S_{\Delta MCD}} \Leftrightarrow d\left( {M;\,\,AB} \right).AB = d\left( {M;\,\,CD} \right).CD.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có điểm \(M \in d:\,\,3x - y - 5 = 0 \Rightarrow M\left( {m;\,\,3m - 5} \right).\)

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;\,\,4} \right) \Rightarrow AB = 5\\\overrightarrow {CD}  = \left( {4;\,\,1} \right) \Rightarrow CD = \sqrt {17} \end{array} \right..\)

Phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\frac{{x - 1}}{{ - 2 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{4 - 0}} \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right) =  - 3y \Leftrightarrow 4x + 3y - 4 = 0.\)

Phương trình đường thẳng \(CD:\,\,\frac{{x + 1}}{{3 + 1}} = \frac{{y - 4}}{{5 - 4}} \Leftrightarrow x + 1 = 4\left( {y - 4} \right) \Leftrightarrow x - 4y + 17 = 0.\)

Theo đề bài ta có: \({S_{\Delta MAB}} = {S_{\Delta MCD}} \Leftrightarrow d\left( {M;\,\,AB} \right).AB = d\left( {M;\,\,CD} \right).CD\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5.\frac{{\left| {4m + 3\left( {3m - 5} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \sqrt {17} .\frac{{\left| {m - 4\left( {3m - 5} \right) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {4m + 9m - 15 - 4} \right| = \left| {m - 12m + 20 + 17} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {13m - 19} \right| = \left| { - 11m + 37} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}13m - 19 =  - 11m + 37\\13m - 19 = 11m - 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}24m = 56\\2m =  - 18\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{3}\\m =  - 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {\frac{7}{3};\,\,2} \right)\\M\left( { - 9;\,\, - 32} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  A.