Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a,\,\,SA=a,\,\,SB=a\sqrt{3}\) và mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). Tính theo \(a\) thể tích của khối chóp \(S.BMDN\).
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Phương pháp giải:
+) Chứng minh \(\Delta SAB\) vuông, tính \(SM\).
+) Tính \(SH\), lưu ý tam giác \(SAM\) đều.
+) Tính \({{S}_{BMDN}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{AMD}}-{{S}_{CDN}}\).
+) \({V_{S.BMDN}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{BMDN}}.\)
Lời giải chi tiết:
* Trong \(\left( SAB \right)\) kẻ \(SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( BMDN \right)\).
* \(S{A^2} + S{B^2} = {a^2} + 3{a^2} = A{B^2} \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(S \Rightarrow SM = \dfrac{{AB}}{2} = a\).
\(\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (Tam giác đều cạnh ).
* \({S_{BMDN}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMD}} - {S_{CDN}} = 4{a^2} - \dfrac{1}{2}.a.2a - \dfrac{1}{2}.a.2a = 2{a^2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.BMDN}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{BMDN}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.2{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
