Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ đã có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) là: \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \(1\), ta được thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\) như hình vẽ.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot AD\,\,\left( {AD \bot day} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OH = 1\).

Hình trụ có chiều cao bằng \(3\sqrt 3 \) (gt) \( \Rightarrow BC = AD = 3\sqrt 3 \). Mà \({S_{ABCD}} = 18\,\,\left( {gt} \right)\).

\( \Rightarrow AB.AD = 18 \Leftrightarrow AB.3\sqrt 3  = 18 \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 3  \Rightarrow AH = \sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) ta có \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2 = r\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3\sqrt 3  = 12\sqrt 3 \pi \).

Chọn D